Une nouvelle preuve informatique “fait exploser” des équations fluides vieilles de plusieurs siècles

Pendant des siècles, les mathématiciens ont cherché à comprendre et à modéliser le mouvement des fluides. Les équations qui décrivent comment les ondulations plissent la surface d’un étang ont également aidé les chercheurs à prédire le temps, à concevoir de meilleurs avions et à caractériser la circulation du sang dans le système circulatoire. Ces équations sont d’une simplicité trompeuse lorsqu’elles sont écrites dans le bon langage mathématique. Cependant, leurs solutions sont si complexes qu’il peut être extrêmement difficile de donner un sens aux questions les plus élémentaires à leur sujet.

Peut-être la plus ancienne et la plus importante de ces équations, formulée par Leonhard Euler il y a plus de 250 ans, décrit l’écoulement d’un fluide idéal et incompressible : un fluide sans viscosité ni frottement interne, et qui ne peut pas être forcé dans un volume plus petit. “Presque toutes les équations de fluides non linéaires sont en quelque sorte dérivées des équations d’Euler”, a déclaré Tarek Elgindi, mathématicien à Duke University. “Ce sont les premiers, pourrait-on dire.”

Pourtant, il reste beaucoup d’inconnues sur les équations d’Euler, y compris si elles sont toujours un modèle précis d’écoulement de fluide idéal. L’un des problèmes centraux de la dynamique des fluides est de déterminer si les équations échouent, produisant des valeurs absurdes qui les rendent incapables de prédire les états futurs d’un fluide.

Les mathématiciens soupçonnent depuis longtemps qu’il existe des conditions initiales qui provoquent la rupture des équations. Mais ils n’ont pas été en mesure de le prouver.

Dans une préimpression mis en ligne en octobre, un duo de mathématiciens a montré qu’une version particulière des équations d’Euler échoue effectivement parfois. La preuve marque une percée majeure – et bien qu’elle ne résolve pas complètement le problème pour la version plus générale des équations, elle laisse espérer qu’une telle solution est enfin à portée de main. “C’est un résultat incroyable”, a déclaré Tristan Buckmaster, un mathématicien de l’Université du Maryland qui n’a pas participé aux travaux. “Il n’y a pas de résultats de ce genre dans la littérature.”

Il n’y a qu’un hic.

La preuve de 177 pages – le résultat d’un programme de recherche d’une décennie – fait un usage important des ordinateurs. Cela rend sans doute difficile pour les autres mathématiciens de le vérifier. (En fait, ils sont toujours en train de le faire, bien que de nombreux experts pensent que le nouveau travail s’avérera correct.) Cela les oblige également à tenir compte des questions philosophiques sur ce qu’est une “preuve” et ce qu’elle signifie si la seule façon viable de résoudre des questions aussi importantes à l’avenir est à l’aide d’ordinateurs.

Apercevoir la bête

En principe, si vous connaissez l’emplacement et la vitesse de chaque particule dans un fluide, les équations d’Euler devraient pouvoir prédire comment le fluide évoluera pour toujours. Mais les mathématiciens veulent savoir si c’est réellement le cas. Peut-être que dans certaines situations, les équations se dérouleront comme prévu, produisant des valeurs précises pour l’état du fluide à un moment donné, seulement pour qu’une de ces valeurs monte soudainement en flèche à l’infini. À ce stade, on dit que les équations d’Euler donnent lieu à une “singularité” – ou, plus dramatiquement, à “exploser”.

Une fois qu’elles auront atteint cette singularité, les équations ne pourront plus calculer le débit du fluide. Mais « il y a quelques années, ce que les gens étaient capables de faire était très, très loin de [proving blowup],” m’a dit Charlie Feffermannmathématicien à l’université de Princeton.

Cela devient encore plus compliqué si vous essayez de modéliser un fluide qui a de la viscosité (comme le font presque tous les fluides du monde réel). Un prix du millénaire d’un million de dollars du Clay Mathematics Institute attend tous ceux qui peuvent prouver si des échecs similaires se produisent dans les équations de Navier-Stokes, une généralisation des équations d’Euler qui explique la viscosité.